Question

已知實數x滿足x+

x

≤a(3x+1)恒成立，則實數a的最小值為

1

2

．

Answer 1

分析：不等式x+

x

≤a(3x+1)恒成立，分離參數，再利用換元法，構造函數，利用判別法確定函數的最大值，從而可求實數a的最小值．

解答：解：設

x

=t（t≥0），則原不等式可化為：t²+t≤a（3t²+1），
即a≥

t2+t

3t2+1

，
設y=

t2+t

3t2+1

（t≥0），則t²+t=3yt²+y，
即（3y-1）t²-t+y=0，∴△=1-4（3y-1）y≥0，
∴-

1

6

≤y≤

1

2

．∴y的最大值為

1

2

，
由于a≥

t2+t

3t2+1

恒成立，∴a≥

1

2

，
則實數a的最小值為

1

2

．
故答案為：

1

2

．

點評：本題考查恒成立問題，涉及到兩個變量，一般都是把它變成一個變量去考慮的，屬于中檔題．