Question

（09年崇文區(qū)期末文）（14分）

如圖，四面體ABCD中，O是BD的中點(diǎn)，ΔABD和ΔBCD均為等邊三角形，

AB =2 ,  AC =．   

（I）求證：平面BCD；                                  

（II）求二面角A-BC- D的大小；                                                        

Answer 1

解析：解法一：

證明：連結(jié)OC,

∴．   ----------------------------------------------------------------------------------2分

,，

       ∴ ．                ------------------------------------------------------4分

在中，     

∴即   ---------------------------------------------------5分

             

∴平面．  ----------------6分

       （II）過(guò)O作，連結(jié)AE，

       ,

∴AE在平面BCD上的射影為OE．

∴．

∴ ．  ---------------------------------10分

在中，,,，  

       ∴．

       ∴二面角A-BC-D的大小為．   -----------------------------------------------14分

解法二：

       （I）同解法一．

       （II）解：以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則     ------------------8分

       ，

∴．  -------------------------------------------------10分

設(shè)平面ABC的法向量，

，，

由．-----------------------------------12分

設(shè)與夾角為，

則．

   ∴二面角A-BC-D的大小為．  -----------------------------------------------14分