已知函數
（I）函數
在區間
上是增函數還是減函數？證明你的結論；
（II）當
時，
恒成立，求整數
的最大值；
（Ⅲ）試證明：
（Ⅰ）在區間上是減函數；（Ⅱ）
；（Ⅲ）詳見解析
解析試題分析：（Ⅰ）求導即得；（Ⅱ）將分離參數得：
在上恒成立，取
，則
，接下來就利用導數求的最小值 注意到題中要求k為整數，說明只需找出這個最小值所在的整數區間，而不用求出這個最小值
（Ⅲ）注意用前面的結論 由（Ⅱ）可得k的最大值為3，取k=3得：
，
待證不等式等價于：
再對照，顯然應考慮將此不等式變形：
，
再令
，
這樣依次取
再將所得不等式相加即得
試題解析：（Ⅰ）由題
2分
故在區間上是減函數; 3分
（Ⅱ）當時，恒成立，即在上恒成立，取，則
， 5分
再取
則
故
在上單調遞增，
而
， 7分
故
在上存在唯一實數根
，
故
時，
時，
故
故 8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：
令， 10分
又
12分
即：
14分
考點：1、導數的應用；2、不等式的證明
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)＝aex，g(x)＝lnx－lna，其中a為常數， e＝2.718…，且函數y＝f(x)和y＝g(x)的圖像在它們與坐標軸交點處的切線互相平行．
(1)求常數a的值；
(2)若存在x使不等式
>
成立，求實數m的取值范圍；
(3)對于函數y＝f(x)和y＝g(x)公共定義域內的任意實數x0，我們把|f(x0)－g(x0)|的值稱為兩函數在x0處的偏差．求證：函數y＝f(x)和y＝g(x)在其公共定義域內的所有偏差都大于2.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
在
上是增函數，
上是減函數．
（1）求函數
的解析式；
（2）若
時，
恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）是否存在實數b，使得方程
在區間
上恰有兩個相異實數根，若存在，求出b的范圍，若不存在說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
的導函數是
，在
處取得極值，且
．
（Ⅰ）求的極大值和極小值；
（Ⅱ）記在閉區間
上的最大值為
，若對任意的
總有
成立，求
的取值范圍；
（Ⅲ）設
是曲線
上的任意一點．當
時，求直線OM斜率的最小值，據此判斷與
的大小關系，并說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
，
（
，
為自然對數的底數）.
（1）當
時，求
的單調區間；
（2）對任意的
，
恒成立，求
的最小值；
（3）若對任意給定的
，在
上總存在兩個不同的
，使得
成立，求的取值范圍.
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，
.
的極值點；
，記
上的最小值為
，求
的最小值.
。
的零點個數；
軸交于
兩點，
中點為
，設函數
, 求證：
。
，
.若函數
依次在
處取到極值.
的取值范圍；
，求
.
在
處的切線方程；
的單調區間；
，求證：
.