Question

已知函數.
(Ⅰ)求在處的切線方程；
(Ⅱ)求的單調區間；
（Ⅲ）若，求證：.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）當，的單調增區間；當時,函數的單調遞增區間是,單調遞減區間是；（Ⅲ）詳見解析.

解析試題分析：（Ⅰ）求出導數及切點，利用直線的點斜式方程即可得切線方程.
（Ⅱ）將求導，利用求得其遞增區間，求得其遞減區間.
在本題中，，由得：.當, 的單調增區間；
當時,函數的單調遞增區間是,單調遞減區間是.
（Ⅲ）本題首先要考慮的是，所要證的不等式與函數有什么關系？待證不等式可做如下變形： ，最后這個不等式與有聯系嗎？我們往下看.
,所以在上是增函數.
因為，所以
即從這兒可以看出，有點聯系了.同理，
所以，
與待證不等式比較，只要問題就解決了，而這由重要不等式可證，從而問題得證.
試題解析：（Ⅰ），，所以切線為：即  3分
（Ⅱ），
，     4分
，,        5分
當，的單調增區間；     6分
當時,函數的單調遞增區間是,單調遞減區間是.  8分
（Ⅲ）,所以在上是增函數, 上是減函數
因為，所以
即,同理.
所以
又因為當且僅當“”時，取等號.
又，,
所以,所以，
所以：.     14分
考點：1、導數的應用；2、不等式的證明.