Question

(本題滿分15分)已知a∈R，函數f (x) =x³ + ax² + 2ax (x∈R)．     （Ⅰ）當a = 1時，求函數f (x)的單調遞增區間；      （Ⅱ）函數f (x) 能否在R上單調遞減，若是，求出a的取值范圍；若不能，請說明理由；  （Ⅲ）若函數f (x)在[-1，1]上單調遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

(Ⅰ)(-1，2)；  (Ⅱ) -8 ≤ a ≤ 0．（Ⅲ）a ≥ 1

(Ⅰ) 當a = 1時，f (x) = x³ + x² + 2x，   ∴ f' (x) = -x² + x + 2，
令f' (x) > 0，即-x² + x + 2 > 0， 解得-1 <x< 2，∴函數f (x)的單調遞增區間是(-1，2)； 
(Ⅱ) 若函數f (x)在R上單調遞減，則f' (x) ≤ 0對x∈R都成立，                 
即-x² + ax + 2a ≤ 0對x∈R都成立，即x² -ax-2a ≥ 0對x∈R都成立． 
∴ △ = a² + 8a ≤ 0，  解得-8 ≤ a ≤ 0．
∴當-8 ≤ a ≤ 0時，函數f (x)能在R上單調遞減；
(Ⅲ) 解法一：∵函數f (x)在[-1，1]上單調遞增，
∴f ' (x) ≥ 0對x∈[-1，1]都成立，∴-x² + ax + 2a ≥ 0對x∈[-1，1]都成立．
∴a(x + 2) ≥ x²對x∈[-1，1]都成立，   即a ≥ 對x∈[-1，1]都成立．
令g(x) =，則g' (x) = 。
當-1 ≤ x < 0時，g' (x) < 0；當0 ≤ x < 1時，g' (x) > 0．
∴g(x)在[-1，0]上單調遞減,在[0，1]上單調遞增．
∵g(-1) = 1，g(1) =，∴g(x)在[-1，1]上的最大值是g(-1) = 1，∴a ≥ 1．
解法二：∵函數f (x)在[-1，1]上單調遞增，
∴f ' (x) ≥ 0對x∈[-1，1]都成立，∴-x² + ax + 2a ≥ 0對x∈[-1，1]都成立．
即x² -ax - 2a ≤ 0對x∈[-1，1]都成立．  12分
令g(x) = x² -ax -2a，則，
解得，∴a ≥ 1．      15分