Question

已知函數(shù)在處取得極值.
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)證明:對(duì)任意的正整數(shù),不等式都成立.

Answer 1

(1)  (2)   (3)先證

解析試題分析：(1)                      
時(shí),取得極值,                  
故解得經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.    
（2）由知 由,得 
令則在區(qū)間上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于在區(qū)間上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.     
當(dāng)時(shí),,于是在上單調(diào)遞增; 
當(dāng)時(shí),,于是在上單調(diào)遞減.   
依題意有,
解得,                  
(3) 的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/e4/1/1ajtt3.png" style="vertical-align:middle;" />,由(1)知,
令得,或(舍去),  當(dāng)時(shí), ,單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí), ,單調(diào)遞減. 為在上的最大值.                      
,故(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立)
對(duì)任意正整數(shù),取得,    
故.     
（方法二）數(shù)學(xué)歸納法證明：
當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，顯然，不等式成立.
假設(shè)時(shí)，成立，
則時(shí)，有.做差比較：
構(gòu)建函數(shù)，則，
單調(diào)遞減，.
取，
即，亦即，
故