Question

已知函數.

（1）若的定義域和值域均是，求實數的值；

（2）若在區間上是減函數，且對任意的，都有，求實數的取值范圍；

（3）若，且對任意的，都存在，使得成立，求實數的取值范圍.

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）先利用二次函數的性質確定函數的單調遞減區間為，故在單調遞減，然后由定義域與值域列出等式關系，從而求解即可；（2）由（1）可知，初步確定的取值范圍，然后確定時函數的最大值，從中求解不等式組即可；（3）將“對任意的，都存在，使得成立”轉化為時，的值域包含了在的值域，然后進行分別求在的值域，從集合間的包含關系即可求出的取值范圍.

試題解析：（1）∵

∴在上單調遞減，又，∴在上單調遞減，

∴，∴，∴ 4分

（2）∵在區間上是減函數，∴，∴

∴，

∴時，

又∵對任意的，都有，

∴，即，也就是

綜上可知 8分

（3）∵在上遞增，在上遞減，

當時，，

∵對任意的，都存在，使得成立

∴

∴，所以 13分

考點：1.二次函數圖像與性質；2.函數的單調性；3.函數與方程的問題.