Question

已知函數f(x)＝lnx－ax2＋(2－a)x
(1)討論f(x)的單調性；(2)設a＞0，證明：當0＜x＜時，f＞f；
(3)若函數y＝f(x)的圖象與x軸交于A，B兩點，線段AB中點的橫坐標為x0，證明f′(x0)＜0.

Answer 1

解：(1)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝－2ax＋(2－a)＝      …1分
①若a≤0，則f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)單調遞增．…………2分
②若a＞0，則由f′(x)＝0得x＝，且當x∈(0, )時，f′(x)＞0，當x＞時，
f′(x)＜0.所以f(x)在(0, )單調遞增，在(,)單調遞減．…………4分
(2)設函數g(x)＝f－f，則g(x)＝ln(1＋ax)－ln(1－ax)－2ax，
g′(x)＝＋－2a   …………………………6分
當0＜x＜時，g′(x)＞0，…………7分   而g(0)＝0，所以g(x)＞0.
故當0＜x＜時，f＞f.    …………………………9分
（3）當a≤0時，函數y=f（x）的圖象與x軸至多有一個交點，故a＞0，…………10分
從而f（x）的最大值為，且.…………………………11分
不妨設,則.由（2）得
，而f(x)在(,)單調遞減．
∴……14分于是.由（1）知，.…………15分

解析