Question

(13分)已知函數f(x)＝ax＋(x≠0，常數a∈R).
(1)討論函數f(x)的奇偶性，并說明理由；
(2)若函數f(x)在x∈[3，＋∞)上為增函數，求a的取值范圍.

Answer 1

解：(1)定義域(－∞，0)∪(0，＋∞)，關于原點對稱.
當a＝0時，f(x)＝，滿足對定義域上任意x，f(－x)＝f(x)，
∴a＝0時，f(x)是偶函數；
當a≠0時，f(1)＝a＋1，f(－1)＝1－a，
若f(x)為偶函數，則a＋1＝1－a，a＝0矛盾；
若f(x)為奇函數，則1－a＝－(a＋1),1＝－1矛盾，∴當a≠0時，f(x)是非奇非偶函數.
(2)任取x₁>x₂≥3，f(x₁)－f(x₂)＝ax₁＋－ax₂－
＝a(x₁－x₂)＋＝(x₁－x₂)(a－).
∵x₁－x₂>0，f(x)在[3，＋∞)上為增函數，
∴a>，即a>＋在[3，＋∞)上恒成立.
∵＋<，∴a≥.

略