Question

已知函數(≠0,∈R)
(Ⅰ)若，求函數的極值和單調區間；
(Ⅱ)若在區間（0，e］上至少存在一點，使得成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

（I）的單調遞增區間為，單調遞減區間為；時，的極小值為1．
（II）．

試題分析：（I）應用導數研究函數的單調性及極值的基本題型，利用“表解法”清晰明了.
（II）解答本題的關鍵是，首先將問題轉化成“若在區間（0，e］上至少存在一點，，使得成立，其充要條件是在區間（0，e］上的最小值小于0”．
應用分類討論思想，就為正數、負數的不同情況加以討論.
試題解析：（I）因為
當a=1，，
令，得，
又的定義域為，隨的變化情況如下表：

	（0，1）	1
	-	0	+
	↘	極小值	↗

所以時，的極小值為1．
的單調遞增區間為，單調遞減區間為；
（II）因為，且
令，得到，
若在區間（0，e］上至少存在一點，，使得成立，
其充要條件是在區間（0，e］上的最小值小于0即可．
當＜0，
即時，對成立，
所以，在區間（0，e］上單調遞減，
故在區間（0，e］上的最小值為，
由，得，即
當＞0，即時，
若，則對成立，
所以在區間上單調遞減，
所以，在區間上的最小值為＞0，
顯然，在區間上的最小值小于0不成立；
②若，即時，則有

	(0，)		(，e)
	-	0	+
	↘	極小值	↗

所以在區間上的最小值為，
由＝a(1?lna)＜0，
得，解得，即．
綜上，由（1）（2）可知：符合題意．