Question

已知數列{a_n}中，a₁＝2，a_n－a_n－1－2n＝0(n≥2，n∈N^*)．
(1)寫出a₂，a₃的值(只寫結果)，并求出數列{a_n}的通項公式；
(2)設b_n＝＋＋＋…＋，若對任意的正整數n，當m∈[－1,1]時，不等式t²－2mt＋>b_n恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

（1）a₂＝6，a₃＝12.   a_n＝n(n＋1)．
（2）實數t的取值范圍為(－∞，－2)∪(2，＋∞)

解：(1)∵a₁＝2，a_n－a_n－1－2n＝0(n≥2，n∈N^*)，
∴a₂＝6，a₃＝12.
當n≥3時，a_n－a_n－1＝2n，a_n－1－a_n－2＝2(n－1)，
又a₃－a₂＝2×3，a₂－a₁＝2×2，
∴a_n－a₁＝2[n＋(n－1)＋…＋3＋2]，
∴a_n＝2[n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1]＝2×＝n(n＋1)．
當n＝1時，a₁＝2；當n＝2時，a₂＝6，也滿足上式，
∴數列{a_n}的通項公式為a_n＝n(n＋1)．
(2)b_n＝＋＋…＋
＝＋＋…＋
＝－＋－＋…＋－
＝－
＝
＝.
令f(x)＝2x＋ (x≥1)，則f′(x)＝2－，
當x≥1時，f′(x)>0恒成立，
∴函數f(x)在[1，＋∞)上是增函數，
故當x＝1時，f(x)_min＝f(1)＝3，
即當n＝1時，(b_n)_max＝.
要使對任意的正整數n，當m∈[－1,1]時，不等式t²－2mt＋>b_n恒成立，則需t²－2mt＋>(b_n)_max＝，
即t²－2mt>0對?m∈[－1,1]恒成立，
∴，解得t>2或t<－2，
∴實數t的取值范圍為(－∞，－2)∪(2，＋∞)．