Question

已知：正數數列{a_n}的通項公式a_n=（n∈N^*）
（1）求數列{a_n}的最大項；
（2）設b_n=，確定實常數p，使得{b_n}為等比數列；
（3）（理）數列{C_n}，滿足C₁＞-1，C₁≠，C_n+1=，其中p為第（2）小題中確定的正常數，求證：對任意n∈N*，有C_2n-1＞且C_2n＜或C_2n-1＜且C_2n＞成立．
（文）設{b_n}是滿足第（2）小題的等比數列，求使不等式-b₁+b₂-b₃+…+（-1）ⁿb_n≥2010成立的最小正整數n．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先對數列{a_n}的通項公式進行變形，由分析a_n隨n的變化規律再結合n∈N^*即可獲得問題的解答；
（2）結合條件充分利用等比數列的性質：等比中項即可獲得含參數的方程，解方程即可獲得參數的值，最后要注意參數的驗證；
（3）對（理）首先結合（2）的結論對條件進行化簡，然后對化簡結果結合結論進行化簡，
利用數學歸納法可以證明對，且＜0，進而即可獲得問題的解答；
對（文）首先要結合p的取值不同進行分類討論，其中左邊利用等比數列的前n項和公式計算即可．注意下結論．
解答：解：（1）a_n=2+，隨n的增大而減小，
∴{a_n}中的最大項為a₁=4．
（2）b_n=，
{b_n}為等比數列
∴b²_n+1-b_nb_n+2=0（n∈N*）∴[（2+p）3ⁿ⁺¹+（2-p）]²-[（2+p）3ⁿ+（2-p）][（2+p）3ⁿ⁺²+（2-p）]=0（n∈N*）
∴（4-p²）（2•3ⁿ⁺¹-3ⁿ⁺²-3ⁿ）=0（n∈N*）
∴-（4-p²）•3ⁿ•4=0（n∈N*）
∴p=±2，
反之當p=2，b_n=3ⁿ時，{b_n}為等比數列；p=-2，b_n=1時，{b_n}為等比數列
∴當且僅當p=±2時，{b_n}為等比數列．
（3）（理）按題意c_n+1=
∵c₁＞-1，c₂＞0，進而當n≥2時，c_n＞0
c_n+1-
∵c₁≠，
∴由數學歸納法，對n∈N*，c_n≠，且＜0
特別有（n∈N*）
∴c_2n-1＞且c_2n＜或c_2n-1＜且c_2n＞．
（文）
若p=-2，則b_n=1（n∈N*）-b₁+b₂-+（-1）ⁿb_n≥2010的n不存在；
若p=2，則b_n=3ⁿ（n∈N*）-b₁+b₂-+（-1）ⁿb_n≥2010?≥2010
等價于（-3）ⁿ-1＞2680，
等價于（-3）ⁿ＞2681，
∴n為偶數，∵3⁶=729，3⁸=6561
∴當p=2時，n的最小值為8；當p=-2時，滿足條件的n不存在．
點評：本題考查的是數列與不等式的綜合問題．在解答的過程當中充分體現了數列與函數的思想、數學歸難的思想以及問題轉化的思想．值得同學們體會和反思．