Question

如圖，已知正方體棱長(zhǎng)為2，、、分別是、和的中點(diǎn).

（1）證明：面；

（2）求二面角的余弦值.

 

Answer 1

（1）證明詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：先以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，然后標(biāo)明有效點(diǎn)的坐標(biāo)，（1）寫出有效向量的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積為零即可證明，從而可得平面；（2）易知為平面的法向量，先計(jì)算，然后觀察二面角是銳角還是鈍角，最終確定二面角的余弦值.

試題解析：以為原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，正方體棱長(zhǎng)為2

則 2分

(1)則，

3分

∵

∴ 4分

∵

∴ 5分

又，， 6分

∴面 7分

(2)由(1)知為面的法向量 8分

∵面，為面的法向量 9分

設(shè)與夾角為，則 12分

由圖可知二面角的平面角為

∴二面角的余弦值為 14分.

考點(diǎn)：1.空間向量在解決空間垂直上的應(yīng)用；2.空間向量在解決空間角中的應(yīng)用.