Question

已知二次函數，及函數。
關于的不等式的解集為，其中為正常數。
（1）求的值；
（2）R如何取值時，函數存在極值點，并求出極值點；
（3）若，且，求證： 。

Answer 1

（1） （2）,
（3）可用數學歸納法證明

解析試題分析：（1）解：∵關于的不等式的解集為，
即不等式的解集為，
∴.              
∴.
∴.
∴.                   
(2)解法1:由(1)得.
∴的定義域為.
∴.           
方程（*）的判別式
.                    
當時， 對恒成立，方程（*）的兩個實根為
             
則時，；時，.
∴函數在上單調遞減，在上單調遞增.
∴對任意實數k，函數都有極小值點.             
解法2:由(1)得.
∴的定義域為.
∴.             
若函數存在極值點等價于函數有兩個不等的零點，且至少有一個零點在上.              
令,
得, (*)
則,(**)             
方程（*）的兩個實根為, .
設,
①若,則