Question

已知數列的前項和滿足，
（Ⅰ）求數列的前三項
（Ⅱ）設，求證：數列為等比數列，并指出的通項公式。

Answer 1

(Ⅰ) ；（Ⅱ）．

試題分析：(Ⅰ) 求數列的前三項，在中分別令即可求出；（Ⅱ）數列為等比數列，只需證明等于一個與無關的常數，由，首先求出數列的通項公式，或遞推式，由，這是已知，求，可利用來求，即當，，可得，由，把代入可得，從而可證，求的通項公式，由是首項為，公比為2的等比數列，可寫出的通項公式，從而可得數列的通項公式．
試題解析：(Ⅰ)在中分別令n=1，2，3得
（2分）         解得  （4分）
⑵由，n≥1得，n≥2
兩式想減得,即，   （6分）
∴a_n+(-1)ⁿ=2a_n-1+(-1)ⁿ-2(-1)ⁿ=2a_n-1+(-1)^n-1
=2[a_n-1+(-1)^n-1](n≥2)    （9分）
即b_n=2b_n-1(n≥2),b₁=a₁-=
∴是首項為，公比為2的等比數列.     （10分）
∴b_n=×2^n-1= a_n+(-1)ⁿ
               (12分)