Question

（本小題滿分13分）已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2,1)
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）直線平行于，且與橢圓交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn).
（ⅰ）若為鈍角，求直線在軸上的截距m的取值范圍；
（ⅱ）求證直線MA、MB與x軸圍成的三角形總是等腰三角形.

Answer 1

（1）（2）（3）利用直線MA、MB的傾斜角互補(bǔ)，
證明直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形

解析試題分析：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為，
則 解得 
∴橢圓的方程為.             ………………………… 4分
（Ⅱ）（ⅰ）由直線平行于OM，得直線的斜率，
又在軸上的截距為m，所以的方程為. 
由 得.
又直線與橢圓交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)，
，于是. ……………… 6分
為鈍角等價(jià)于且，             
設(shè)，

，
由韋達(dá)定理，代入上式，
化簡(jiǎn)整理得，即，故所求范圍是.
……………………………………………8分
（ⅱ）依題意可知，直線MA、MB的斜率存在，分別記為，.
由，.      ………………………………10分
而

. 
所以 , 故直線MA、MB的傾斜角互補(bǔ)，
故直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形．…………………… 13分
考點(diǎn)：本試題考查了橢圓的方程和直線與橢圓的位置關(guān)系。
點(diǎn)評(píng)：對(duì)于解決解析幾何的方程問(wèn)題，一般都是利用其性質(zhì)得到a,b,c的關(guān)系式，然后求解得到，而對(duì)于直線與橢圓的位置關(guān)系，通常利用設(shè)而不求的數(shù)學(xué)思想，結(jié)合韋達(dá)定理，以及判別式來(lái)分析求解。尤其關(guān)注圖形的特點(diǎn)與斜率和向量之間的關(guān)系轉(zhuǎn)換，屬于難度題。