Question

已知函數，（）在處取得最小值.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若在處的切線方程為，求證：當時，曲線不可能在直線的下方；
（Ⅲ）若，（）且，試比較與的大小，并證明你的結論.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）詳見解析.

解析試題分析：（Ⅰ）導數法，先求導數，由條件，得出的值，再令或，判斷函數的單調區間；（Ⅱ）導數法，構造新函數，再用導數法，證明在恒成立，從而得出結論；（Ⅲ）用導數的幾何意義，得出直線方程，在用導數法證明.
試題解析：（Ⅰ），由已知得,          （3分）
當時，此時在單調遞減，在單調遞增,
（Ⅱ）,,在的切線方程為，
即.                                                  （6分）
當時，曲線不可能在直線的下方在恒成立，
令，,
當，，
即在恒成立，
所以當時，曲線不可能在直線的下方,                  （9分）
（Ⅲ）,
先求在處的切線方程，故在的切線方程為，即，
下先證明，
令
，
當，



.                                                （14分）
考點：導數的運算法則，利用導數研究函數的極值，不等式的證明等知識.