Question

已知函數，（其中，），且函數的圖象在點處的切線與函數的圖象在點處的切線重合．
（Ⅰ）求實數a，b的值；
（Ⅱ）若，滿足，求實數的取值范圍；
（Ⅲ）若，試探究與的大小，并說明你的理由．

Answer 1

（Ⅰ），；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

試題分析：（Ⅰ）先求出在點處切線方程為，再求出在點處切線方程為，比較兩方程的系數即可得，；（Ⅱ）根據題意可轉化成在上有解，令，只需，分類討論可求得實數m的取值范圍是；
（Ⅲ）令，再證函數在區間上單調遞增，當時，恒成立，即可得對任意，有，再證即可得證.
試題解析：（Ⅰ）∵，∴，則在點處切線的斜率，切點，則在點處切線方程為，
又，∴，則在點處切線的斜率，切點，則在點處切線方程為，
由解得，． 4分
（Ⅱ）由得，故在上有解，
令，只需．  6分
①當時，，所以； 7分
②當時，∵，
∵，∴，，∴，
故，即函數在區間上單調遞減，
所以，此時．
綜合①②得實數m的取值范圍是．    9分
（Ⅲ）令，．
令，則在上恒成立，
∴當時，成立，∴在上恒成立，
故函數在區間上單調遞增，∴當時，恒成立，
故對于任意，有．    12分
又∵，
∴．
∴，從而．… 14分