Question

設函數(其中).
(Ⅰ) 當時,求函數的單調區間；
(Ⅱ) 當時,求函數在上的最大值.

Answer 1

(Ⅰ) 函數的遞減區間為,遞增區間為, (Ⅱ)

(Ⅰ) 當時,
,
令,得,
當變化時,的變化如下表:

		極大值		極小值

右表可知,函數的遞減區間為,遞增區間為,.
(Ⅱ),
令,得,,
令,則,所以在上遞增,
所以,從而,所以
所以當時,；當時,；
所以
令,則,
令,則
所以在上遞減,而
所以存在使得,且當時,,
當時,,
所以在上單調遞增,在上單調遞減.
因為,,
所以在上恒成立,當且僅當時取得“”.
綜上,函數在上的最大值.
(1)根據k的取值化簡函數的表達式，明確函數的定義域，然后利用求導研究函數的單調區間，中規中矩；（2）借助構造函數的技巧進行求解，如構造達到證明的目的，構造達到證明的目的.
【考點定位】本題考查函數的單調性和函數的最值問題，考查學生的分類討論思想和構造函數的解題能力.