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如圖，在直三棱柱中，，，異面直線與所成
的角為.

（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）設是的中點，求與平面所成角的正弦值.

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.

解析試題分析：（Ⅰ）由直三棱柱的性質證，再證明平面；（Ⅱ）用向量法求解.
試題解析：（Ⅰ）三棱柱是直三棱柱,
平面,.
又,平面，
平面，
平面，.                    （5分）
（Ⅱ）如圖，

以點為原點，、、分別為、、軸正方向，線段長為單位長，
建立空間直角坐標系，設，則，，，
，，
由于直線與所成的角為.
，解得，
,,設平面的法向量,
,可取.,.     (10分)
于是,
所以與平面所成角的正弦值為.                 (12分)
考點：三棱柱的性質，空間中的垂直問題，向量法求角.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐P—ABCD中,PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，PA＝AB＝4，G為PD的中點，E是AB的中點.

（Ⅰ）求證：AG∥平面PEC；  
（Ⅱ）求點G到平面PEC的距離．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，長方體中，，點是的中點.

(1)求三棱錐的體積；
(2)證明：;
(3)求二面角的正切值.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知中，，，為的中點，分別在線段上，且交于，把沿折起，如下圖所示，

（1）求證：平面；
（2）當二面角為直二面角時，是否存在點，使得直線與平面所成的角為，若存在求的長，若不存在說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐的底面為矩形，，，分別是的中點，．

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求證：平面平面．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖（1），等腰直角三角形的底邊，點在線段上，于，現將沿折起到的位置（如圖（2））．

（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）若，直線與平面所成的角為，求長．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖所示，已知為圓的直徑，點為線段上一點，且，點為圓上一點，且．點在圓所在平面上的正投影為點，．

（1）求證：；
（2）求二面角的余弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖已知：菱形所在平面與直角梯形所在平面互相垂直，，點分別是線段的中點.

（1）求證：平面平面;
（2）點在直線上，且//平面，求平面與平面所成角的余弦值。

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，平面四邊形的4個頂點都在球的表面上，為球的直徑，為球面上一點，且平面 ，，點為的中點.
(1) 證明：平面平面；
(2) 求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

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