Question

如圖，△中，，，，在三角形內挖去一個半圓（圓心在邊上，半圓與、分別相切于點、，與交于點），將△繞直線旋轉一周得到一個旋轉體．

（1）求該幾何體中間一個空心球的表面積的大小；
（2）求圖中陰影部分繞直線旋轉一周所得旋轉體的體積．

Answer 1

（1）；（2）.

解析試題分析：（1）要求球的表面積，首先要求出球的半徑，如圖即半圓的半徑，這可在中列方程解得，圓半徑為則有，即，則此求得；（3）要陰影部分旋轉后的體積，我們要看陰影部分是什么幾何體，看看能不能把變成我們熟知的錐臺、球，或者上它們構成的，本題中，是在三角形內部挖去一個小三角形，因此最后所得可以看作是一個圓錐里面挖去了一個球，從而其體積就等于一個圓錐的體積減去球的體積，即.
試題解析：（1）連接，則，
設，則，
在中，，
所以        （4分）
所以．      （6分）
（2）中，，,，
，          （8分）
．（12分）

考點：球的表面積；（2）旋轉體的體積.