Question

定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/5b/f/uegsy3.png" style="vertical-align:middle;" />的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為．若對(duì)，均有，則稱(chēng)函數(shù)為上的夢(mèng)想函數(shù)．
（Ⅰ）已知函數(shù)，試判斷是否為其定義域上的夢(mèng)想函數(shù)，并說(shuō)明理由；
（Ⅱ）已知函數(shù)（，）為其定義域上的夢(mèng)想函數(shù)，求的取值范圍；
（Ⅲ）已知函數(shù)（，）為其定義域上的夢(mèng)想函數(shù)，求的最大整數(shù)值．

Answer 1

（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）的取值范圍是；（Ⅲ）的最大整數(shù)值為．

解析試題分析：（Ⅰ）根據(jù)題中“夢(mèng)想函數(shù)”的定義判斷函數(shù)是否為“夢(mèng)想函數(shù)”；（Ⅱ）根據(jù)“夢(mèng)想函數(shù)”的定義結(jié)合參數(shù)分離法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化型的恒成立問(wèn)題，等價(jià)轉(zhuǎn)化為去處理，但需定義域的開(kāi)閉對(duì)參數(shù)的取值范圍的影響；（Ⅲ）根據(jù)“夢(mèng)想函數(shù)”的定義結(jié)合參數(shù)分離法轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題處理，在轉(zhuǎn)化的過(guò)程中，若兩邊同時(shí)除以，注意對(duì)的取值符號(hào)分正負(fù)以及進(jìn)行討論，從而得出參數(shù)的取值范圍，進(jìn)而確定的最大整數(shù)值.
試題解析：（Ⅰ）函數(shù)不是其定義域上的夢(mèng)想函數(shù)．      1分
理由如下：
定義域，，      2分
存在，使，故函數(shù)不是其定義域上的夢(mèng)想函數(shù)．  4分
（Ⅱ），，若函數(shù)在上為夢(mèng)想函數(shù)，
則在上恒成立，      5分
即在上恒成立，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/22/3/kbarm1.png" style="vertical-align:middle;" />在內(nèi)的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/99/d/1hfp94.png" style="vertical-align:middle;" />，      7分
所以．      8分
（Ⅲ），由題意在恒成立，
故，即在上恒成立．
①當(dāng)時(shí)，顯然成立；     9分
②當(dāng)時(shí)，由可得對(duì)任意恒成立.
令，則， 10分
令，
則．
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/b8/9/yultc3.png" style="vertical-align:middle;" />，所以在單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/0f/e/4drff1.png" style="vertical-align:middle;" />，所以在單調(diào)遞增．
∵，，
∴當(dāng)時(shí)，的值均為負(fù)數(shù).
∵，，
∴當(dāng)時(shí)，
有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且.       11分
∴當(dāng)時(shí)，，所以，可得在單調(diào)遞減；
當(dāng)