Question

已知數列的前項和為，，是與的等差中項（）.
（Ⅰ）證明數列為等比數列；
（Ⅱ）求數列的通項公式；
（Ⅲ）是否存在正整數，使不等式（）恒成立，若存在，求出的最大值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在符合要求的正整數，且其最大值為11.

解析試題分析：（Ⅰ）是與的等差中項，可得到，（），證明數列為等比數列；只需證明為一個與無關的常數即可，這很容易證出；（Ⅱ）求數列的通項公式，由（Ⅰ）可得，即，這樣問題轉化為已知求，利用時，，當時，，可求出數列的通項公式，值得注意的是，用此法求出的需驗證時，是否符合，若不符合，須寫成分段形式；（Ⅲ）是否存在正整數，使不等式（）恒成立，若存在，求出的最大值；若不存在，請說明理由，這是一個探索性命題，解此類題往往先假設其成立，作為條件若能求出的范圍，就存在正整數，使不等式（）恒成立，若求不出的范圍，就不存在正整數，使不等式（）恒成立，此題為奇數時，對任意正整數不等式恒成立；只需討論當為偶數時，可解得，，所以存在符合要求的正整數，且其最大值為11.
試題解析：（Ⅰ）因為是與的等差中項，所以（），即，（），由此得（），又，所以 （），所以數列是以為首項，為公比的等比數列.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，即（）， 所以，當時，，又時，也適合上式， 所以. 
（Ⅲ） 原問題等價于（）恒成立.當為奇數時，對任意正整數不等式恒成立；當為偶數時，等價于恒成立，令，，則等價于恒成立， 因為