已知函數
（1）當
時，試討論函數
的單調性；
（2）證明：對任意的
，有
.
（1）①
時，
在（0,1）是增函數，在
是減函數；
②
時，在（0,1），
是增函數，在
是減函數；
③
時，在
是增函數.
（2）見解析.
解析試題分析：（1）求導數得到
，而后根據兩個駐點的大小比較，分以下三種情況討論.
①時，在（0,1）是增函數，在是減函數；
②時，在（0,1），是增函數，在是減函數；
③時，在是增函數.
（2）注意到時，在是增函數
當
時，有
.從而得到：對任意的
，有
通過構造
，并放縮得到
利用裂項相消法求和，證得不等式。涉及數列問題，往往通過“放縮、求和”轉化得到求證不等式.
試題解析：（1）
1分
①時，在（0,1）是增函數，在是減函數； 3分
②時，在（0,1），是增函數，在是減函數； 5分
③時，在是增函數. 6分
（2）由（1）知時，在是增函數
當時，
.
對任意的，有 8分 10分
所以
12分
考點：應用導數研究函數的單調性，應用導數證明不等式，“裂項相消法”求和.
名校練考卷期末沖刺卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
.
（Ⅰ）求函數
的單調區間；
（Ⅱ）如果對于任意的
，
總成立，求實數
的取值范圍；
（Ⅲ）設函數
，
，過點
作函數
圖象的所有切線，令各切點得橫坐標構成數列
，求數列的所有項之和
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
的導函數
是二次函數，當
時，有極值，且極大值為2，
.
（1）求函數的解析式；
（2）
有兩個零點，求實數
的取值范圍；
（3）設函數
，若存在實數
，使得
，求
的取值范圍.
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，
．
為
的導函數，若不等式
在
上有解，求實數
的取值范圍；
，對任意的
，不等式
恒成立，求m（m∈Z，m
1）的值．
時，求函數
在
上的極值；
時，
；
.
，
，
.
的最大值；
，總存在
使得
成立，求
的取值范圍；
.
的單調區間； 
時，求函數
上的最小值.
，
．
時，求曲線
在點
處的切線方程；
在區間
上是減函數，求
的取值范圍．
，其中
為常數。
時，判斷函數
在定義域上的單調性；