已知函數
，
，
.
（1）求
的最大值；
（2）若對
，總存在
使得
成立，求
的取值范圍；
（3）證明不等式：
.
（1）0；（2）
；（3）證明過程詳見解析.
解析試題分析：本題主要考查導數的應用、不等式、數列等基礎知識，考查思維能力、創新意識，考查分類討論思想、轉化思想.第一問，是導數的應用，利用導數判斷函數的單調區間求函數最值；第二問，雖然是恒成立問題，但經過分析可以轉化成求
和
，通過討論確定每段區間上函數的單調性和最值；第三問，先通過觀察湊出所要證明的表達式的形式，再利用等比數列的前n項和公式求和，最后通過放縮法得到結論.
試題解析： （1）∵ (
)
∴
∴當
時，
，
時
∴
∴的最大值為0
（2）
，
使得成立，等價于
由（1）知
，當
時，在
時恒為正，滿足題意.
當
時，
，令
解得
∴
在
及
上單調遞增，在
上單調遞減，
若
即
時，
，∴
∴ ∴，
若
即
時，在
,
，
而
，
在
為正，在
為負，
∴
，
當
而
時
不合題意，
綜上的取值范圍為 .
（3）由（1）知
即
()
取
∴
∴
即
∴
.
考點：1.利用導數求最值；2.恒成立問題；3.等比數列的前n項和公式；4.放縮法.
孟建平小學滾動測試系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
，
（1）求函數
的極值點；
（2）若直線
過點
，并且與曲線
相切，求直線的方程；
（3）設函數
，其中
，求函數
在
上的最小值（其中
為自然對數的底數）.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)＝x2－mlnx
(1)若函數f(x)在(，＋∞)上是遞增的，求實數m的取值范圍；
(2)當m＝2時，求函數f(x)在[1，e]上的最大值和最小值
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時，求曲線
在點
處的切線方程；
的單調區間；
的取值范圍.
，其中
. 
在
處取得極值，求常數
的值；
，
，若
元素中有唯一的整數，求
（
）
在點
處的切線平行于
軸，求
的值；
時，若直線
與曲線
上有公共點，求
的取值范圍.
,
在
上的單調遞增；
有三個零點，求
的值；
恒成立，求a的取值范圍。
時，試討論函數
的單調性；
，有
.
，使得
恒成立，求實數
的取值范圍；
，不等式
成立.