Question

已知函數f(x)＝x²－mlnx
(1)若函數f(x)在(，＋∞)上是遞增的，求實數m的取值范圍；
(2)當m＝2時，求函數f(x)在[1，e]上的最大值和最小值

Answer 1

（1）；（2） 

解析試題分析：（1）主要利用函數在區間上的單調遞增轉化為導數在該區間上恒大于零，然后再把恒成立問題轉化為最值來求；（2）利用導數分析函數在區間上的單調性，然后求對應的最值；
試題解析：（1）若函數f(x)在(，＋∞)上是增函數，
則f′(x)≥0在(，＋∞)上恒成立                        2分
而f′(x)＝x－，即m≤x²在(，＋∞)上恒成立，即m≤      8分
(2)當m＝2時，f′(x)＝x－＝，              
令f′(x)＝0得x＝±，             10分
當x∈[1，)時，f′(x)<0，當x∈(，e)時，f′(x)>0，
故x＝是函數f(x)在[1，e]上唯一的極小值點，
故f(x)_min＝f()＝1－ln2，
又f(1)＝，f(e)＝e²－2＝>，故f(x)_max＝        16分
考點：導數、函數單調性，函數的最值