Question

（09年朝陽區二模）（13分）

已知雙曲線的左頂點為，右焦點為，右準線與一條漸近線的交點坐標為．

（Ⅰ）求雙曲線的方程；

（Ⅱ）過右焦點的直線(不與x軸重合)與雙曲線交于兩點，且直線、分別交雙曲線的右準線于、兩點，求證：為定值．

Answer 1

 解析：（Ⅰ）雙曲線的右準線為，漸近線為.

因為右準線與一條漸近線的交點坐標為，

所以解得．

于是，雙曲線的方程為．            ………………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知點的坐標分別為，右準線為．

當直線斜率不存在時，點的坐標分別為，

則直線方程分別為，

令，得的坐標分別為，

此時．

當直線的斜率存在時，設直線的方程為，

由得．

因為直線與雙曲線交于兩點，

所以，，解得．

設兩點坐標分別為，

則，．

則直線方程分別為，

令，得的坐標分別為，

所以

           

　　　　　　

            ．

所以，為定值．                 ………………………13分