Question

（2008•西城區二模）設a∈R，函數f（x）=3x³-4x+a+1．
（Ⅰ）求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若對于任意x∈[-2，0]，不等式f（x）≤0恒成立，求a的最大值．

Answer 1

分析：（I）先求出函數f（x）的導函數fˊ（x），然后解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函數f（x）的單調區間；
（II）根據對于任意x∈[-2，0]，不等式f（x）≤0恒成立，將a分離出來，然后研究另一側函數的最值即可求出a的最值．

解答：（Ⅰ）解：f（x）的導數f′（x）=9x²-4．
令f′（x）＞0，解得x＞

2

3

，或x＜-

2

3

；
令f′（x）＜0，解得-

2

3

＜x

2

3

．
從而f（x）的單調遞增區間為(-∞，-

2

3

)，(

2

3

，+∞)；
單調遞減區間為（-

2

3

，

2

3

）
（Ⅱ）解：由f（x）≤0，得-a≥3x³-4x+1
由（Ⅰ）得，函數y=3x³-4x+1在（-2，

2

3

）內單調遞增，
在（-

2

3

，0）內單調遞減，
從而當x=-

2

3

時，函數y=3x³-4x+1取得最大值

25

9

因為對于任意x∈[-2，0]，不等式f（x）≤0恒成立，
故-a≥

25

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，即a≤-

25

9

，
從而a的最大值是-

25

9

點評：本題主要考查導函數的正負與原函數的單調性之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減，以及函數恒成立問題，同時考查了轉化與劃歸的數學思想，屬于中檔題．