題目列表(包括答案和解析)
設函數
，其中
為自然對數的底數.
（1）求函數
的單調區間；
（2）記曲線
在點
（其中
）處的切線為
，與
軸、
軸所圍成的三角形面積為
，求的最大值.
【解析】第一問利用由已知
，所以
，
由
，得
，
所以，在區間
上，
，函數
在區間上單調遞減；
在區間
上，
，函數在區間上單調遞增；
第二問中，因為
，所以曲線在點
處切線為：
.
切線與軸的交點為
，與軸的交點為
，
因為，所以
，
， 在區間
上，函數
單調遞增，在區間
上，函數單調遞減.所以，當
時，有最大值，此時
，
解：（Ⅰ）由已知，所以，
由，得， 所以，在區間上，，函數在區間上單調遞減；
在區間上，，函數在區間上單調遞增；
即函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為.
（Ⅱ）因為，所以曲線在點處切線為：.
切線與軸的交點為，與軸的交點為，
因為，所以
，
， 在區間上，函數單調遞增，在區間上，函數單調遞減.所以，當時，有最大值，此時，
所以，的最大值為
，x∈(0，+∞)的最小值，并確定相應的x的值，列表如下：
（x＞0）在區間(0，2)上遞減，則在________上遞增；（x＞0）的最小值為_________；
（x＞0）在區間(0，2)上遞減；
（x＜0）有最值嗎？是最大值還是最小值？此時x為何值？ 已知函數
，（
），
（1）若曲線
與曲線
在它們的交點（1，c）處具有公共切線，求a,b的值
（2）當
時，若函數
的單調區間，并求其在區間（-∞，-1）上的最大值。
【解析】（1）
，
∵曲線與曲線在它們的交點（1，c）處具有公共切線
∴
，
∴
（2）令
，當
時，
令
，得
時，
的情況如下：
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
所以函數
的單調遞增區間為
，
，單調遞減區間為
當
，即
時，函數在區間
上單調遞增，在區間上的最大值為
，
當
且
，即
時，函數在區間內單調遞增，在區間
上單調遞減，在區間上的最大值為
當
，即a>6時，函數在區間內單調遞贈，在區間內單調遞減，在區間
上單調遞增。又因為
所以在區間上的最大值為。
已知函數
，
.
（Ⅰ）若函數
依次在
處取到極值.求
的取值范圍；
（Ⅱ）若存在實數
，使對任意的
，不等式
恒成立.求正整數
的最大值.
【解析】第一問中利用導數在在處取到極值點可知導數為零可以解得方程有三個不同的實數根來分析求解。
第二問中，利用存在實數，使對任意的，不等式
恒成立轉化為
，恒成立，分離參數法求解得到范圍。
解：（1）
①
（2）不等式 ，即
，即
.
轉化為存在實數
，使對任意的
，不等式恒成立.
即不等式
在上恒成立.
即不等式
在上恒成立.
設
，則.
設
，則
，因為，有
.
故
在區間上是減函數。又
故存在
，使得
.
當
時，有
，當
時，有
.
從而
在區間
上遞增，在區間
上遞減.
又
[來源:]
所以當
時，恒有
；當
時，恒有
；
故使命題成立的正整數m的最大值為5
設函數f(x)為定義在R上的偶函數，當x＜－1時，y＝f(x)的圖象是經過A(－2，0)、B(－3，－1)兩點的一條射線，當－1≤x≤1時，y＝f(x)的圖象是頂點在(0，
)，對稱軸是y軸，且過點(－1，1)的一段拋物線．
(1)試求函數y＝f(x)的解析式；
(2)畫出f(x)的圖象并寫出其單調遞增區間．
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