已知函數
，其中常數
．
（1）求
的單調區間；
（2）如果函數
在公共定義域D上，滿足
，那么就稱
為
與
的“和諧函數”．設
，求證：當
時，在區間
上，函數與的“和諧函數”有無窮多個．
（1）
,的單調遞增區間是
和
，單調遞減區間是
,單調遞增區間是
,
,單調遞增區間是
和
，單調遞減區間是
（2）作差構造新函數證明.
解析試題分析：（1）
，常數）
令
，則
，
①當時，
，
在區間和上，
；在區間上
，
故的單調遞增區間是和，單調遞減區間是
②當時，
，故的單調遞增區間是
③當時，
，
在區間和上，；在區間上，
故的單調遞增區間是和，單調遞減區間是
（2）令
，
令
，則，
因為，所以
，且
從而在區間上，
，即
在上單調遞減
所以
又，所以
，即
設
（
，則
所以在區間上，函數與的“和諧函數”有無窮多個
考點：類比推理；函數的定義域及其求法；函數的值域；函數單調性的判斷與證明；函數單調性的性質．
點評：本題主要以新定義為載體，綜合考查了函數的單調性、函數的最值方程的根的情況、二次函數的最值的求解，考查了利用已學知識解決新問題的能力，考查了推理運算的能力，本題綜合性較強．
中考解讀考點精練系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設函數
.
(1)求函數
的單調區間和極值。
(2)若關于
的方程
有三個不同實根，求實數
的取值范圍；
(3)已知當
(1，＋∞)時，
恒成立，求實數
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
的導函數是
，在
處取得極值，且
，
（Ⅰ）求的極大值和極小值；
（Ⅱ）記在閉區間
上的最大值為
，若對任意的
總有
成立，求
的取值范圍；
（Ⅲ）設
是曲線
上的任意一點．當
時，求直線OM斜率的最
小值，據此判斷與
的大小關系，并說明理由．
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的圖像在
處的切線方程；
，求函數
在
上的最小值.
在
與
時都取得極值.
的值與函數
的單調區間;
，不等式
恒成立，求
的取值范圍.
，其中
為常數，且函數
和
的圖象在其與坐標軸的交點處的切線互相平行，求此時平行線的距離。
時，求函數在
上的最大值和最小值；
在
處取得極值，不等式
對
恒成立，求實數
的取值范圍。
．
，
恒成立，求
的最大值；
有且僅有一個實根，求
的取值范圍．
（其中
為常數）.
時，求函數的單調區間；
時，設函數
的3個極值點為
，且
.
.