Question

如圖,在底面為平行四邊形的四棱柱中,底面,,,．

（Ⅰ)求證:平面平面；
（Ⅱ）若,求四棱錐的體積．

Answer 1

（Ⅰ)見解析（Ⅱ）1.

解析試題分析：（Ⅰ)首先由余弦定理求,由勾股定理確定,所以,
結(jié)合條件平面,可知,于是可證平面.
平面平面（Ⅱ）求四棱錐的體積有兩個途徑,第一,利用（Ⅰ)的結(jié)論平面平面,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/8a/f/17o2y2.png" style="vertical-align:middle;" />,取中點(diǎn),連結(jié),可證是四棱錐的高,從而求四棱錐的體積；第二、因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/1f/b/lokrb1.png" style="vertical-align:middle;" />，所以從而方便求解.
試題解析：（Ⅰ)證明： 在中,由余弦定理得：，
所以,所以,即，          3分
又四邊形為平行四邊形,所以，
又底面,底面,所以，          4分
又,所以平面,               5分
又平面,所以平面平面．              6分

（Ⅱ）法一：連結(jié)，∵，∴
∵平面，所以，
所以四邊形的面積，             8分
取的中點(diǎn)，連結(jié)，則，且，
又平面平面,平面平面，
所以平面，                           11分
所以四棱錐的體積：
．