Question

已知二次函數與交于兩點且，奇函數，當時，與都在取到最小值．
（1）求的解析式；
（2）若與圖象恰有兩個不同的交點，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）．

解析試題分析：（1）由已知是奇函數，故，從而得，所以，又當時，在取到最小值，由均值不等式等號成立的條件可得，即．再由已知及弦長公式，得，解方程組便得的值，從而得函數和的解析式；（2）由已知，與，即有兩個不等的實根，將問題轉化為方程有兩個不等的實根，即一元二次方程根的分布問題，列不等式組解決問題．
試題解析：（1）因為是奇函數，由得，所以，由于時，有最小值，所以，則，當且僅當：取到最小值，所以，即．
設，，則．由得：，所以：，解得：，所以        6分
（2）因為與，即有兩個不等的實根，也即方程有兩個不等的實根．
當時，有，解得；當時，有，無解．
綜上所述，．                                13分
考點：1．函數的最值；2．函數的奇偶性；3．弦長公式；4．一元二次方程根的分布問題．