Question

在圓上任取一點，設點在軸上的正投影為點．當點在圓上運動時，動點滿足，動點形成的軌跡為曲線.
（1）求曲線的方程；
（2）已知點，若、是曲線上的兩個動點，且滿足，求的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）.

解析試題分析：（1）解法一是從條件得到點為線段的中點，設點，從而得到點的坐標為，利用點在圓上，其坐標滿足圓的方程，代入化簡得到曲線的方程；解法二是利用相關點法，設點，點，通過條件確定點與點的坐標之間的關系，并利用點的坐標表示點的坐標，再借助點在圓上，其坐標滿足圓的方程，代入化簡得到曲線的方程；（2）先利用條件將化簡為，并設點，從而得到的坐標表達式，結合點，將的代數式化為以的二次函數，結合的取值范圍，求出的取值范圍.
試題解析：（1）解法1：由知點為線段的中點.
設點的坐標是，則點的坐標是.
因為點在圓上，所以.
所以曲線的方程為；
解法2：設點的坐標是，點的坐標是，
由得，，．
因為點在圓上， 所以．     ①
把，代入方程①，得．
所以曲線的方程為；
（2）解：因為，所以．
所以．
設點，則，即．
所以，
因為點在曲線上，所以．
所以．
所以的取值范圍為.
考點：1.相關點法求軌跡方程；2.平面向量的數量積；3.二次函數的最值