Question

（本小題滿分14分）已知函數，。
(1) 若，求函數的極值；
(2) 設函數，求函數的單調區間；
(3) 若在區間（）上存在一點，使得成立，求的取值范圍。

Answer 1

(1)的極小值為； (2) 當時，在上遞增；時，在上遞減，在上遞增；(3)或 。

解析試題分析：（1）
∴在上遞減，在上遞增 ∴的極小值為……4分
（2）   ∴
①當時，，∴在上遞增
②當時，，
∴在上遞減，在上遞增                 ……8分
（3）區間上存在一點，使得成立
在上有解
當時，
由（2）知
當時，在上遞增，
∴ ∴
②當時，在上遞減，在上遞增
（ⅰ）當時， 在上遞增
∴ 
∴無解
（ⅱ）當時， 在上遞減
∴
∴ 
（ⅲ）當時， 在上遞減，在上遞增
∴
令，則
∴在遞減  ∴ ∴無解
即無解
綜上：或                      ……14分
考點：利用導數研究函數的極值；利用導數研究函數的單調性；利用導數求閉區間上函數的最值。
點評：本題第一問考查利用導函數來研究函數的極值．在利用導函數來研究函數的極值時，分三步①求導函數，②求導函數為0的根，③判斷根左右兩側的符號，若左正右負，原函數取極大值；若左負右正，原函數取極小值．