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在數列{an}中，a1=1，當n≥2時，an,Sn,Sn－成等比數列.
(1)求a2,a3,a4，并推出an的表達式；(2)用數學歸納法證明所得的結論；
(3)求數列{an}前n項的和.
解：∵an,Sn,Sn－成等比數列，∴Sn2=an·(Sn－)(n≥2)                      (*)
(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=－
由a1=1，a2=－,S3=+a3代入(*)式得：a3=－
同理可得：a4=－,由此可推出：an=
(2)①當n=1,2,3,4時，由(*)知猜想成立.
②假設n=k(k≥2)時，ak=－成立
故Sk2=－·(Sk－)
∴(2k－3)(2k－1)Sk2+2Sk－1=0
∴Sk= (舍)
由Sk+12=ak+1·(Sk+1－),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk－)

由①②知，an=對一切n∈N成立.
(3)由(2)得數列前n項和Sn= .
略
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

(本小題滿分12分)
已知點是區域,()內的點，目標函數，的最大值記作.若數列的前項和為，,且點（）在直線上.
（Ⅰ）證明：數列為等比數列；
（Ⅱ）求數列的前項和.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

已知數列滿足，則數列的最小值是
A．25　　B．26C．27　D．28

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

由下面四個圖形中的點數分別給出了四個數列的前四項,將每個圖形的層數增加可得到這四個數列的后繼項.按圖中多邊形的邊數依次稱這些數列為“三角形數列”、“四邊形數列”，將構圖邊數增加到可得到“邊形數列”，記它的第項為，

1，3，6，10        1，4，9，16          1，5，12，22         1，6，15，28
（1）      求使得的最小的取值；
（2）      試推導關于、的解析式；
( 3) 是否存在這樣的“邊形數列”,它的任意連續兩項的和均為完全平方數,若存在,指出所有滿足條件的數列并證明你的結論;若不存在,請說明理由.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

定義一個“等積數列”：在一個數列中，如果每一項與它后一項的積都是同一常數，那么這個數列叫“等積數列”，這個常數叫做這個數列的公積．已知數列是等積數列，且，公積為5，則這個數列的前項和的計算公式為：                 ．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

（本題滿分10分）已知數列是公差大于的等差數列，且滿足，.
(Ⅰ) 求數列的通項公式；
（Ⅱ）若數列和數列滿足等式（），求數列的前項和．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分12分）
已知為等比數列，為等差數列的前n項和，
（1）求的通項公式；
（2）設，求

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

在數列中，，為數列的前項和且，則
  ;

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

（本題滿分14分）
（理）已知數列{an}的前n項和，且=1，
.（I）求數列{an}的通項公式；
（II）已知定理：“若函數f(x)在區間D上是凹函數，x>y(x,y∈D)，且f’(x)存在，則有
< f’(x)”．若且函數y=xn+1在(0,+∞)上是凹函數，試判斷bn與bn+1的大小；
（III）求證：≤bn<2.

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