已知函數
．
（1）若存在
，使不等式
成立，求實數
的取值范圍；
（2）設
，證明：
．
（1）
；（2）詳見解析.
解析試題分析：（1）這是一個含參不等式恒成立，求參數取值范圍的問題，通常方法是根據函數性質進行求解，或分離參數轉化為求函數最值問題，若方便分離參數又較容易求分離后函數的最值，還是分離參數較好，這樣可避免對參數的討論；（2）這是一個以函數的凹凸那條性為背景的一個不等式的證明問題雙變元問題，可以將其中一個看成主元，另一個看成參數，構造函數
，通過求導判斷函數的單調性和最值達到證明的目的.
試題解析：（1）（1）由變形為
．
令
，則
故當
時，
，
在
上單調遞減；
當
時，
，在
上單調遞增，
所以的最大值只能在
或
處取得
又
，
，所以
所以
，從而．
（2）∵，∴
設，則
當
時，
，
在
上為減函數；
當
時，
，在
上為增函數．
從而當
時，
，
因為
，所以．
考點：函數的零點、三角函數的性質.
名校通行證有效作業系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
，
.
（1）若
，是否存在
、
，使
為偶函數，如果存在，請舉例并證明你的結論，如果不存在，請說明理由；
（2）若
，
，求
在
上的單調區間；
（3）已知
，
對
，，有
成立，求的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
，
恒過定點 (3,2).
(1)求實數
；
(2)在(1)的條件下，將函數
的圖象向下平移1個單位，再向左平移個單位后得到函數
，設函數的反函數為
，求的解析式；
(3)對于定義在[1,9]的函數
，若在其定義域內，不等式
恒成立，求
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
統計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y（升）關于行駛速度x（千米/小時）的函數解析式可以表示為：
．已知甲、乙兩地相距100千米．
（I）當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？
（Ⅱ）當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
對于函數
，若在定義域內存在實數
，滿足
，則稱為“局部奇函數”．
（Ⅰ）已知二次函數
，試判斷是否為“局部奇函數”？并說明理由；
（Ⅱ）若
是定義在區間
上的“局部奇函數”，求實數
的取值范圍；
（Ⅲ）若
為定義域
上的“局部奇函數”，求實數的取值范圍．
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且
．
的值；
在
上的單調性，并給予證明．
.
時，畫出函數
的簡圖，并指出
（其中
）的圖象如圖所示．
的解析式；
，且
，求
的單調區間．
對任意
滿足
，
，若當
時，
（
且
），且
．
的值；
的值域．