Question

已知函數(shù)在處取得極值.
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)證明:對(duì)任意的正整數(shù),不等式都成立.

Answer 1

(1) a=1. （2）, (3) 利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后再利用單調(diào)性及數(shù)列知識(shí)證明即可

解析試題分析：(1)                
時(shí),取得極值,                
故解得經(jīng)檢驗(yàn)a=1符合題意. 
（2）由a=1知 由,得 
令則在區(qū)間上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于在區(qū)間上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.           
當(dāng)時(shí),,于是在上單調(diào)遞增; 
當(dāng)時(shí),,于是在上單調(diào)遞減.
依題意有,
解得,               
(3) 的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/d8/8/hha153.png" style="vertical-align:middle;" />,由(1)知,
令得,x=0或(舍去),  當(dāng)時(shí), ,單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí), ,單調(diào)遞減. 為在上的最大值.                        
,故(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí),等號(hào)成立)
對(duì)任意正整數(shù)n,取得,  
.
故.
考點(diǎn)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用
點(diǎn)評(píng)：導(dǎo)數(shù)本身是個(gè)解決問(wèn)題的工具，是高考必考內(nèi)容之一，高考往往結(jié)合函數(shù)甚至是實(shí)際問(wèn)題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，求單調(diào)、最值、完成證明等，請(qǐng)注意歸納常規(guī)方法和常見(jiàn)注意點(diǎn)