Question

已知,分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是圓的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn).
(Ⅰ)求圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線被橢圓和圓所截得的弦長(zhǎng)分別為,.當(dāng)最大時(shí),求直線的方程.

Answer 1

（Ⅰ）圓的方程為；（Ⅱ）直線的方程是

解析試題分析：（Ⅰ）求圓的方程，圓的直徑為，它的圓心為的中點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，故本題先求出的長(zhǎng)，從而得半徑，的中點(diǎn)，只需求出它關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，求點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱的方法為：兩點(diǎn)連線垂直對(duì)稱軸，兩點(diǎn)的中點(diǎn)在對(duì)稱軸上，這樣求出圓心，從而可以寫(xiě)出圓的方程；（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線被橢圓和圓所截得的弦長(zhǎng)分別為,.當(dāng)最大時(shí),求直線的方程，這是直線與二次曲線的位置關(guān)系問(wèn)題，可采用設(shè)而不求的方法來(lái)解，設(shè)直線方程為:，設(shè)直線與橢圓相交與點(diǎn)利用弦長(zhǎng)公式求出的值，根據(jù)圓的性質(zhì)求出的值，從而得，可用基本不等式確定最大值時(shí)的的值，就得直線方程．
試題解析：(Ⅰ) 設(shè)圓和圓關(guān)于直線對(duì)稱,由題意知圓的直徑為所以圓心，半徑，圓心與圓心關(guān)于直線對(duì)稱，故圓的方程為；
(Ⅱ)由(Ⅰ)知(2,0), 設(shè)直線方程為:，圓心到直線的距離，由垂徑定理和勾股定理得：. 設(shè)直線與橢圓相交與點(diǎn) 由 得：  由韋達(dá)定理可得：依題意可知： 
，令在 單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減， 當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)直線的方程是，所以當(dāng)取得最大值時(shí)，直線的方程是
考點(diǎn)：橢圓的方程、圓的方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、直線的方程．