Question

已知函數.
(Ⅰ) 若函數在處的切線方程為，求實數的值.
（Ⅱ）當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

(Ⅰ) ；
（Ⅱ） 。

試題分析：(Ⅰ) 由得
               （2分）
 
函數在處的切線方程為，
所以 ，解得                   （5分）
（Ⅱ）當時，不等式恒成立，
所以，，而   （6分）
由（Ⅰ）知
令得或                         （8分）
（1）當即時，恒成立，所以在上遞增，成立                        （9分）
（2）當即時，由解得或
①當即時，在上遞增，在上遞減，
所以，解得；
②當即時，在上遞增，在上遞減，
在上遞增，
故，
解得；                              （12分）
（3）當即時，由解得或
①當即時，在上遞減，在上遞增，舍去；
②當即時，在上遞增，在上 遞減， 在上遞增，
所以，解得 （14分）
所以實數的取值范圍為 （15分）
點評：中檔題，利用導數研究函數的單調性、極值，是導數應用的基本問題，主要依據“在給定區間，導函數值非負，函數為增函數；導函數值非正，函數為減函數”。確定函數的極值，遵循“求導數，求駐點，研究單調性，求極值”。不等式恒成立問題，往往通過構造函數，研究函數的最值，使問題得到解決。