Question

等邊三角形的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)、分別是邊、上的點(diǎn)，且滿足（如圖1）．將△沿折起到△的位置，使二面角成直二面角，連結(jié)、 （如圖2）．

（1）求證：平面；
（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使直線與平面所成的角為？若存在，求出的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析；（2）存在，且.

解析試題分析：（1）這是一個(gè)證明題，先用利用余弦定理在求出的長(zhǎng)度，結(jié)合勾股定理證明，從而在折疊后對(duì)應(yīng)地有，然后利用平面平面，結(jié)合平面與平面垂直的性質(zhì)定理證明平面；（2）方法1是利用（1）中的提示條件說(shuō)明平面，
然后再過(guò)點(diǎn)作，便可以得到平面，從而為直線與平面所成的角，進(jìn)而圍繞的長(zhǎng)度進(jìn)行計(jì)算；方法2是利用空間向量法，先假設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用（1）中的提示條件說(shuō)明平面，將視為平面的一個(gè)法向量，然后利用確定點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而計(jì)算的長(zhǎng)度.
試題解析：證明：（1）因?yàn)榈冗叀?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/ee/b/qzygq1.png" style="vertical-align:middle;" />的邊長(zhǎng)為3，且，
所以，．
在△中，，
由余弦定理得．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/22/e/ilyak1.png" style="vertical-align:middle;" />，所以．
折疊后有．                                2分
因?yàn)槎�面�?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/58/d/yuuao.png" style="vertical-align:middle;" />是直二面角，所以平面平面．           3分
又平面平面，平面，，
所以平面．                               4分
（2）解法1：假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使直線與平面所成的角為．
如圖，作于點(diǎn)，連結(jié)、．      5分

由（1）有平面，而平面，
所以．                   6分
又