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如圖，某自來水公司要在公路兩側排水管，公路為東西方向，在路北側沿直線排水管，在路南側沿直線排水管（假設水管與公路的南，北側在一條直線上且水管的大小看作為一條直線），現要在矩形區域ABCD內沿直線EF將與接通．已知AB = 60m，BC = 60m，公路兩側排管費用為每米1萬元，穿過公路的EF部分的排管費用為每米2萬元，設EF與AB所成角為．矩形區域內的排管費用為W．

（1）求W關于的函數關系式；
（2）求W的最小值及相應的角．

（1）；（2），.

解析試題分析：（1）過E作，垂足為，然后將用，再根據題意列出W關于的函數關系式，化簡即得；（2）設，，再對其求導，通過導函數確定在的單調性，從而得到該函數的最大值以及取得最大值時相應的角，代入中，即得到W的最小值.
試題解析：（1）如圖，過E作，垂足為，由題意得，
故有，， ，
所以W=.
即 .  6分

（2）設，
則．
令得，即，得．
列表






+
0
-

單調遞增
極大值
單調遞減
所以當時有，此時有．
答：排管的最小費用為萬元，相應的角．  13分
考點：1.三角函數；2.用導數研究函數的單調性；3.利用單調性求最值.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

(本小題13分)己知函數。
（1）試探究函數的零點個數；
（2）若的圖象與軸交于兩點，中點為，設函數的導函數為, 求證：。

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知函數在上是增函數，上是減函數．
（1）求函數的解析式；
（2）若時，恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）是否存在實數b，使得方程在區間上恰有兩個相異實數根，若存在，求出b的范圍，若不存在說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知函數的導函數是，在處取得極值，且．
（Ⅰ）求的極大值和極小值；
（Ⅱ）記在閉區間上的最大值為，若對任意的總有成立，求的取值范圍；
（Ⅲ）設是曲線上的任意一點．當時，求直線OM斜率的最小值，據此判斷與的大小關系，并說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知函數.
(I)若,求函數的單調區間；
(Ⅱ)求證:
(Ⅲ)若函數的圖象在點處的切線的傾斜角為,對于任意的,函數是的導函數)在區間上總不是單調函數,求的取值范圍。

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

設函數 
（1）當時，求的單調區間；
（2）若當時恒成立，求實數的取值范圍。

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知函數. 
（Ⅰ）當時，求曲線在處的切線方程；
（Ⅱ）設函數，求函數的單調區間；
（Ⅲ）若在上存在一點，使得＜成立，求的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知函數，（，為自然對數的底數）.
（1）當時，求的單調區間；
（2）對任意的，恒成立，求的最小值；
（3）若對任意給定的，在上總存在兩個不同的，使得成立，求的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知函數是R上的奇函數，當時取得極值.
(I)求的單調區間和極大值
(II)證明對任意不等式恒成立.

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