Question

已知函數。
(1)當時，①求函數的單調區間；②求函數的圖象在點處的切線方程；
(2)若函數既有極大值，又有極小值，且當時，恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

（1）函數的單調遞增區間是：，單調遞減區間是：（1，3）；（2）.

試題分析：(1)①：當m=2時，可以得到f(x)的具體的表達式，進而求得的表達式，根據即可確定f(x)的單調區間；②：根據①中所得的的表達式，可以得到的值，即切線方程的斜率，在由過(0,0)即可求得f(x)在(0,0)處的切線方程；(2) f(x)即有極大值，又有極小值，說明有兩個不同的零點，在時，恒成立，
說明<36恒成立，
即，通過判斷在[0,4m]上的單調性，即可求把 用含m的代數式表示出來，從而建立關于m的不等式.
（1）當m=2時，則 1分
①令，解得x=1或x="3"    2分
∴函數的單調遞增區間是：，單調遞減區間是：（1，3）  4分
②∵，∴函數y=f(x)的圖象在點(0,0)處的切線方程為y=3x    6分；
(2)因為函數f(x)既有極大值，又有極小值，則有兩個不同的根，則有
 又     8分
令，依題意：即可.
,,
   10分
,又，
∴g(x)最大值為   12分,   13分
∴m的取值范圍為       14分．.