Question

已知函數.
（1）當時，指出的單調遞減區間和奇偶性（不需說明理由）；
（2）當時，求函數的零點；
（3）若對任何不等式恒成立，求實數的取值范圍。

Answer 1

（1）遞減區間為，函數既不是奇函數也不是偶函數；（2）或；（3）．

解析試題分析：（1）時，作出函數的圖象，如下圖，即可得出結論．

（2）實際上就是解方程，只不過在解題時，首先要分類討論（分和），其次還要注意的是，否則會得出錯誤結果；本題也可由求出方程的正的零點（這可利用（1）的結論很快解決），然后令等于這些值，就可求出；（3）不等式恒成立求參數取值范圍問題，一般把問題轉化如轉化為求函數的值域（或最值）或者利用不等式的性質，本題參數可以分離，在時，不論取何值，不等式都成立，在時，可轉化為，即，下面只要求出的最大值和的最小值．
試題解析：1）當時，函數的單調遞減區間為（2分）
函數既不是奇函數也不是偶函數（4分）
（2）當，（1分）
由得  （2分）
即（4分）
解得  (5分)
所以或  （6分）
（3）當時，取任意實數，不等式恒成立，
故只需考慮，此時原不等式變為 （1分）
即
故   （2分）
又函數在上單調遞增， （3分）
函數在上單調遞減，在上單調遞增，（4分）
；（5分）
所以，即實數的取值范圍是 （6分）
考點：（1）函數單調區間與奇偶性；（2）解超越方程；（3）不等式恒成立問題．