Question

設數列{a_n}的首項a₁=1，前n項和S_n滿足關系式:3tS_n－(2t+3)S_n－1=3t(t＞0,n=2,3,4…).
(1)求證: 數列{a_n}是等比數列；
(2)設數列{a_n}的公比為f(t)，作數列{b_n}，使b₁=1,b_n=f()(n=2,3,4…)，求數列{b_n}的通項b_n；
(3)求和: b₁b₂－b₂b₃+b₃b₄－…+b_2n－1b_2n－b_2nb_2n+1.

Answer 1

(1)證明略 (2) b_n=1+(n－1)= (3) b₁b₂－b₂b₃+b₃b₄－…+b_2n－1b_2n－b_2nb_2n+1－ (2n²+3n)

(1)由S₁=a₁=1,S₂=1+a₂，得3t(1+a₂)－(2t+3)=3t.
∴a₂=.
又3tS_n－(2t+3)S_n－1=3t，                                ①
3tS_n－1－(2t+3)S_n－2=3t                                ②
①－②得3ta_n－(2t+3)a_n－1=0 
∴,n=2,3,4…,
所以{a_n}是一個首項為1公比為的等比數列；
(2)由f(t)= =,得b_n=f()=+b_n－1.
可見{b_n}是一個首項為1，公差為的等差數列.
于是b_n=1+(n－1)=;
(3)由b_n=,可知
{b_2n－1}和{b_2n}是首項分別為1和，公差均為的等差數列，
于是b_2n=,
∴b₁b₂－b₂b₃+b₃b₄－b₄b₅+…+b_2n－1b_2n－b_2nb_2n+1
=b₂(b₁－b₃)+b₄(b₃－b₅)+…+b_2n(b_2n－1－b_2n+1)
=－ (b₂+b₄+…+b_2n)=－·n(+)=－ (2n²+3n).