Question

已知a、b為實數，且b＞a＞e,其中e為自然對數的底，
求證: a^b＞b^a.

Answer 1

證明略

證法一: ∵b＞a＞e,∴要證a^b＞b^a,只要證blna＞alnb,
設f(b)=blna－alnb(b＞e),則f′(b)=lna－.
∵b＞a＞e,∴lna＞1,且＜1,∴f′(b)＞0.
∴函數f(b)=blna－alnb在(e,+∞)上是增函數，
∴f(b)＞f(a)=alna－alna=0,即blna－alnb＞0,
∴blna＞alnb,∴a^b＞b^a.
證法二： 要證a^b＞b^a,只要證blna＞alnb(e＜a＜b,即證,
設f(x)=(x＞e)，則f′(x)=＜0,
∴函數f(x)在(e,+∞)上是減函數，又∵e＜a＜b,
∴f(a)＞f(b),即,∴a^b＞b^a.